7 класс решения и критерии школьного этапа олимпиады по математике 2016 года



7 класс Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

Решения и критерии школьного этапа

За каждое задание можно получить 7 баллов.

Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

7

Полное верное решение.

5-6

Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.

4

Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.

2-3

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0

Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0

Решение отсутствует.

Помимо этого, в методических рекомендациях по проведению Олимпиады следует проинформировать жюри школьного этапа о том, что:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведённого в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень её правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при её выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объёму текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады (это решает районное олимпиадное Жюри, разрабатывающее положение о победителях и призёрах школьного этапа олимпиады).

 

Ответы к задачам олимпиады:

Ответ к задаче № 1: Два брата ели конфеты из коробки. Один брат съел половину всех конфет и ещё одну. Второй брат – половину оставшихся и ещё три конфеты. После этого в коробке осталось 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке первоначально?

Решение:

Решим задачу с помощью уравнения.

Обозначим за х первоначальное количество конфет.

Тогда первый брат съел (х/2+1) конфет,

а второй брат съел (х- (х/2+1))/2 + 3 конфет.

Составим уравнение:

(х/2+1) + (х-(х/2+1))/2 + 3 + 4 = х. Умножив обе части уравнения на 2, получим уравнение:

х+2 +х/2-1+14= 2х

х/2 =15

х =30

Ответ: 30 конфет.

Баллы

Критерии

7

Задача решена верно.

6

Задача решена, но есть ошибки в решении уравнения, не повлекшие к неверному ответу, выполнена проверка.

5

Задача решена в целом, но содержатся вычислительные ошибки в решении уравнения, проверка не выполнена.

4

Задача решена «наполовину», т.е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение отсутствует, решение не доведено до конца.

3

Задача не решена, но записан верный ответ и выполнена проверка.

2

Задача не решена, но ученик записал верный ответ.

1

Задача не решена, но подход к решению намечен, уравнение составлено не верно или, решая схематично задачу, допущены ошибки в условии.

0

Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

 

Ответ к задаче № 2: Мария записала дату своего рождения (число, месяц и год). Потом она умножила число на номер месяца и получила 372. Когда у неё день рождения? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Решение:

Поскольку 31∙12=372, то Мария могла родиться 31 декабря. Заметим, что число 372 получается, если номер числа и номер месяца максимально возможные, значит, в остальных случаях получится меньше, чем 372.

Ответ: 31 декабря.

Баллы

Критерии

7

Задача решена верно.

6

Задача решена, но нет доказательства, что это единственный вариант.

5

Решение содержит подбор произведений двух чисел, найдена нужная пара чисел.

4

Задача решена в целом, но содержатся вычислительные ошибки, нет доказательства единственности решения.

3

Записан верный ответ и выполнена проверка.

2

Задача не решена, но ученик записал верный ответ.

1

Решая задачу, допущены ошибки в условии (искал произведение числа, месяца и года рождения – двузначного числа).

0

Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

 

Ответ к задаче № 3: На доске написано число. Операция X добавляет единицу к написанному числу, операция Y увеличивает его в два раза. Таким образом, например, последовательность операций YXX превратит число 2 в 6. Какая кратчайшая последовательность операций превратит число 1 в 20?

Решение:

I способ. 20=(((1+1)∙2+1)∙2)∙2, получим последовательность операций ХYХYY.

II способ. 20=((1∙2∙2+1) ∙2)∙2, получим последовательность операций YYXYY.

Мы воспользовались тем, что

20= 1∙ 5 ∙4 и представленные способы с самыми короткими последовательностями данных операций, но уже другое представление числа 5, например, 20= (1+1+1+1+1)∙ 2 ∙2 не устраивает по количеству операций.

Варианты другого представления числа 20 приведут к большему числу операций, чем 5:

20= 1∙ 10∙ 2, то есть 20= (1 ∙2 ∙2 ∙2+1+1) ∙ 2

Ответ: ХYХYY, YYXYY.

Баллы

Критерии

7

Задача решена верно.

6

Задача решена, но нет доказательства, что только два варианта.

5

Одно решение верное, а во втором ошибка с последовательностью операций.

4

Приведён один правильный ответ, а другой получен с вычислительными ошибками.

3

Записан один верный ответ.

2

Задача не решена, но ученик привёл математические действия для получения числа 20, не с единички начаты примеры.

1

Задача не решена, приведена последовательность операций, не приводящая к ответу — число 20 не получено.

0

Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

 

Ответ к задаче № 4: В галактике Кин-Дза-Дза живут пацаки и чатлане. У них принято говорить правду, если в помещении присутствуют представители обеих рас, и врать среди своих. Собрались в комнате трое жителей галактики. Первый сказал: «Я пацак», и вышел из помещения. Второй сказал: «А я чатланин». Определите, кем является каждый из них. Не забудьте объяснить, почему другие варианты невозможны.

Решение:

1) Допустим, что первый — чатланин. Тогда он соврал, а значит, вначале в комнате находились только чатлане. Но тогда и второй должен был соврать третьему (поскольку они одной расы), а значит, второй не мог сказать, что он чатланин. Противоречие. Значит, на самом деле первый – пацак.

2) Если второй – чатланин, то получается, что он сказал правду. Это означает, что третий был пацаком. Этот вариант подходит: в этом случае, когда и первый, и второй должны сказать правду; что они и сделали.

3) Если второй – пацак, то получается, что он соврал. Это означает, что третий тоже пацак. Но в таком случае в комнате с самого начала были три пацака, и первый должен был соврать, а он сказал правду. Противоречие.

Ответ: первый – пацак, второй – чатланин, третий– пацак.

Баллы

Критерии

7

Задача решена верно.

6

Задача решена, в обосновании незначительные ошибки.

5

Записан верный ответ, есть проверка, в обосновании допущены ошибки или неточности.

4

Записан верный ответ и есть проверка.

3

Записан верный ответ, но нет обоснования.

2

Задача не решена, но указаны два жителя планеты верно.

1

Задача не решена, но указан один из жителей планеты верно.

0

Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

 

Ответ к задаче № 5: В клетках таблицы 5x7 расставлены числа 1, 2 и 3, так, что в любом квадрате 2x2 есть все три различных числа. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел во всей таблице?

Решение:

Пример:

1111111

2323232

1111111

2323232

1111111

Рассмотрим левый верхний квадрат 2х2 прямоугольника 5х7. В нём есть как минимум две не единицы, и как минимум одна из них находится на стороне или в углу прямоугольника. Назовём эту клетку отмеченной.

Рассмотрев остальные углы прямоугольника, получим всего не менее четырёх отмеченных клеток, т. е. клеток на границе прямоугольника, в которых написаны не единицы.

Левый верхний и правый нижний прямоугольники 4х6 не содержат отмеченных клеток, значит, в каком — то из них содержатся не более двух отмеченных клеток. Этот прямоугольник разбивается на квадраты 2х2, сумма чисел в каждом из которых не менее 7. Значит, всего в этом прямоугольнике общая сумма чисел не менее 42. Вне этого прямоугольника 4х6 осталось 11 клеток, из которых не менее двух отмеченных. Сумма чисел в этих клетках не менее 9∙1+ 2∙2=13. Итого получаем общую сумму не менее 55.

Ответ: 55.

Баллы

Критерии

7

Задача решена верно.

6

Задача решена, но нет обоснования решения.

5

Проведено верно заполнение таблицы, указана в ответе наименьшая сумма.

4

Задача решена в целом, но нет в ответе общей суммы.

3

Задача не решена, ученик указал верно верхнюю и нижнюю строки из единиц, а вторую и предпоследнюю строки начал не с цифры 2.

2

Задача не решена, но ученик указал верно верхнюю и нижнюю строки из единиц.

1

Задача не решена, указаны неверно верхняя и нижняя строки из единиц.

0

Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

 

Ответ к задаче № 6: В свежих грибах содержится 90 % воды. В сухих грибах содержится 4 % воды. Сколько килограммов сухих грибов можно получить из 24 кг свежих грибов?

Решение:

Условие задачи запишем в виде таблицы. Учтём, что и в свежих, и в сухих грибах не меняется масса вещества (белка), уменьшается только вода при высыхании.

Вид грибов

Вода, %

Белок, %

Масса, кг

Свежие грибы

90

10

24

Сухие грибы

4

96

?

 

1) 24∙0,1= 2,4 кг белка в свежих и сухих грибах.

2) 2,4:96∙100=2,5 кг

Ответ: 2,5 кг

Баллы

Критерии

7

Задача решена верно.

6

Задача решена, но в обосновании незначительные ошибки.

5

Записан верный ответ, есть проверка, но в обосновании допущены вычислительные ошибки.

4

Записан верный ответ и есть проверка, но нет решения.

3

Записан верный ответ, но нет обоснования.

2

Задача не решена, но указано, что в любых грибах неизменна масса белка и она найдена верно.

1

Задача не решена, условие задачи записано, но составлено уравнение неверно либо неверно найден способ для получения количества неизменного белка в любых грибах.

0

Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *